Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số
Bài giảng Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số
A. LÝ THUYẾT
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K {x0}.
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn K {x0} và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu: limx→∞fx=L hay f(x) → L khi x → x0.
Nhận xét: limx→∞x=x0,limx→∞c=c với c là hằng số.
Ví dụ 1. Cho hàm số fx=x3−8x−2. Chứng minh rằng limx→2fx=12.
Giải
Hàm số xác định trên ℝ2
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn≠2 và xn→2 khi n→+∞.
Ta có:
limfxn=limxn3−8xn−2=limxn−2xn2+2xn+4xn−2=limxn2+2xn+4=12.
Vậy limx→2fx=12.
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1
a) Giả sử limx→x0fx=L và limx→x0gx=M. Khi đó:
limx→x0fx+gx=L+M;limx→x0fx−gx=L−M;limx→x0fx.gx=L.M;limx→x0fxgx=LMM≠0;
b) Nếu fx≥0 và limx→x0fx=L thì L≥0 và limx→x0fx=L.
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với x≠x0).
Ví dụ 2. Cho hàm số fx=1−xx−42. Tính limx→4fx.
Giải
Ta có:
limx→41−x=−3<0, limx→4x−42=0⇒limx→4fx=limx→41−xx−42=−∞
3. Giới hạn một bên
Định nghĩa 2
– Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b).
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu: limx→x0+fx=L
– Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0).
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu: limx→x0−fx=L.
Định lí 2
limx→x0fx=L⇔limx→x0+f(x)=limx→x0−fx=L
Ví dụ 3. Cho hàm số fx=x+1 khi x≥02x khi x < 0. Tìm limx→0+f(x);limx→0−f(x) và limx→0f(x) (nếu có).
Giải
Ta có:
limx→0+f(x)=limx→0+x+1=0;limx→0−f(x)=limx→0−2x=0;⇒limx→0+f(x)=limx→0−fx=0
Do đó limx→0f(x)=0.
Vậy limx→0+f(x)=limx→0−fx=0 và limx→0f(x)=0.
II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
Định nghĩa 3
a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu: limx→+∞fx=L
b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (-∞; a).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → -∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → -∞, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu: limx→−∞fx=L
Chú ý:
a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:
limx→+∞c=c;limx→−∞c=c; limx→+∞cxk=0;limx→−∞cxk=0.
b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 vẫn còn đúng khi xn → +∞ hoặc x → -∞
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
1. Giới hạn vô cực
Định nghĩa 4
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là -∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → -∞
Kí hiệu: limx→∞fx=−∞
Nhận xét:
limx→+∞fx=+∞⇔limx→+∞−fx=−∞.
2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) limx→+∞xk=+∞ với k nguyên dương.
b) Nếu k chẵn thì limx→−∞xk=+∞;
Nếu k lẻ thì limx→−∞xk=−∞.
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương fxgx
(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x≠x0)
Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:
x→x0+,x→x0−;x→+∞;x→−∞.
Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau:
a) limx→∞x4−3x+8;
b) limx→1−5x−62x−2;
c) limx→−3+xx+3;
Giải
a)
limx→+∞x4−3x+8=limx→∞x41−3×3+8×4=limx→+∞x4.limx→+∞1−3×3+8×4=+∞
(Vì limx→+∞x4=+∞;limx→+∞1−3×3+8×4=1).
b)
limx→1−5x−62x−2=limx→1−5x−6:limx→1−2x−2=+∞
(Vì limx→1−5x−6=−1<0;limx→1−2x−2=0 và 2x – 2 < 0 với mọi x < 1).
c)
limx→−3+xx+3=limx→−3+x:limx→−3+x+3=−∞
( Vì limx→−3+x=−3<0;limx→−3+x+3=0 và x + 3 > 0 với mọi x > – 3 ).
B. BÀI TẬP
Bài 1. Tính giới hạn các hàm số sau:
a) limx→1x−1x+3−2;
b) limx→+∞1−2x+3x3x3−9;
c) limx→01x21x2+1−1;
d) limx→−∞x2−11−2x5x3−9;
Lời giải
a)
limx→1x−1x+3−2=limx→1x−1x+3+2x+3−2x+3+2=limx→1x−1x+3+2x−1=limx→1x+3+2x+1=42=2
b)
limx→+∞1−2x+3x3x3−9=limx→+∞1×3−2×2+31−9×3 =31=3
c)
limx→01x21x2+1−1=limx→01×2.limx→01×2+1−1=0
( Vì limx→01×2=∞;limx→01×2+1−1=0).
d)
limx→−∞x2−11−2x5x7+x+3=limx→−∞1−1x21x−251+1×6+3×7=−21=−2
Bài 2. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
a) limx→21−2x4x+1;
b) limx→−∞3×2+4×2−2.
Lời giải
a) Xét hàm số f(x)=1−2x4x+1
Tập xác định của hàm số: ℝ−14.
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn≠−14 và xn→2 khi n→+∞. Ta có:
limxn→2f(xn)=limxn→21−2xn4xn+1=−39=−13.
Do đó limx→21−2x4x+1=−13.
b) Xét gx=3×2+4×2−2
Tập xác định của hàm số: ℝ±2
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn≠±2 và xn→−∞ khi n→+∞. Ta có:
limx→−∞gxn=limx→−∞3xn2+4xn2−2=3
⇒limx→−∞3×2+4×2−2=3.
Bài 3. Cho hàm số: fx=1x−1−3×3−1 khi x>1mx+2 khi x≤1
Với giá trị nào của m thì hàm số f(x) có giới hạn khi x→1? Tìm giới hạn này.
Lời giải
Ta có:
limx→1+fx=limx→1+1x−1−3×3−1=limx→1+x2+x+1−3x−1×2+x+1=limx→1+x2+x−2x−1×2+x+1=limx→1+x−1x+2x−1×2+x+1=limx→1+x+2×2+x+1=33=1limx→1−fx=limx→1−mx+2=m+2
Để hàm số f(x) có giới hạn khi x→1 thì limx→1+fx=limx→1−fx
⇔m+2=1⇔m=−1
Khi đó: limx→1fx=limx→1+fx=limx→1−fx=1.
Vậy m = -1 thì hàm số f(x) có giới hạn khi x→1 và giới hạn đó bằng 1.
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số
Câu 1: Giá trị của giới hạn limx→39×2−x(2x−1)(x4−3) là:
A. 15
B. 5
C. 15
D. 5.
Câu 2: Giá trị của giới hạn limx→−∞x3+2×2+3x là:
A. 0.
B. +∞.
C. 1.
D. −∞.
Câu 3: Tính limx→+∞x2+x+3−x bằng?
A. −1
B. 0
C. 12
D. 1
Câu 4: Tính limx→−∞x3+13+x−1 bằng?
A. −1
B. 0
C. 12
D. −∞
Câu 5: Kết quả của giới hạn limx→(−1)+x3+1xx2−1 là:
A. 3.
B. +∞.
C. 0.
D. −∞
Câu 6: Giá trị của giới hạn limx→2×2−x−1×2+2×3 là:
A. 14
B. 12
C. 13
D. 15
Câu 7: Giá trị của giới hạn limx→3×2−4 là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 8: Giá trị của giới hạn limx→−∞(x−x3+1) là:
A. 1.
B. −∞.
C. 0.
D. +∞.
Câu 9: Kết quả của giới hạn limx→2+x−15x−2 là:
A. −∞
B. +∞
C. −152
D. 1
Câu 10: Kết quả của giới hạn limx→2+x+2x−2 là:
A. −∞.
B. +∞.
C. −152.
D. Không xác định.
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:
Lý thuyết Hàm số liên tục
Lý thuyết Ôn tập chương 4
Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm
Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác
